Duchovní podpora

... a poskytuji vám tuto Zemi k dozrávání ...

Uživatelské nástroje

Nástroje pro tento web

Umístění: Duchovní podpora » Projekty » Věda ve Světle Pravdy » Inspirace » Dosavadní matematika
Historie: • Cesta Grálu • Pohádky Zdeňky Čechové • Pozvánky • Marek Ištvánek • Dosavadní matematika

Postranní lišta

Nedávné změny:

projekty:veda:inspirace:matematika:start
Knihař
 Přidat stránku do knihy
Knihař
 Odebrat stránku z knihy  

 Zobrazit/upravit knihu (0 stránka/y)
 Nápověda

Obsah

Dosavadní matematika

Dosavadní matematika používá mnoho nářečí pro popis určitých oblastí skutečného nebo neskutečného světa.

Algebra

Algebra popisuje vztahy a operace mezi prvky určité množiny.

Prvky jsou třeba body, přímky, roviny nebo celý prostor či jejich vynechání z prostoru.

Základní prvky se mnohdy souhrnně označují jako vektory nebo tenzory, což ovšem často zakrývá jejich skutečný význam.

Operace (syntéza či sloučení) s prvky jsou:

  • Sčítání a odčítání
  • Násobení a dělení číslem
  • Násobení a dělení prvků navzájem

Násobení prvků $A$ a $B$, můžeme rozepsat na součet symetrické a nesymetrické/asymetrické části (tenzoru): $$AB = \{AB\} + [AB]$$ $$\{AB\} = \frac{1}{2}(AB+BA) = \{BA\}$$ $$[AB] = \frac{1}{2}(AB-BA) = -[BA]$$

Symetrická část pak bývá rozepisována na součet stopy Tr ($n$ je počet rozměrů prostoru = počet základních prvků) a bezestopý/odchylkový zbytek D: $$\{AB\} = \frac{1}{n}Tr(AB) + D(AB)$$

Proč ale stopa či skalární násobení? Souvisí to s poměry mezi prvky, tedy měřením či metrikou, a tudíž s jejich dělením (kontrakcí), které se dá provést pomocí spojení prvků a jejich duálů. V dnešní matematické mluvě vektorů a kovektorů jejichž násobením vznikají tenzory.

Asymetrická část násobení souvisí s rovnými geometriemi přímek, rovin atd. - odtud lineální algebra. Symetrická část zase souvisí se zakřivenými geometriemi křivek, ploch atd. - odtud nelineární algebra.

Projektivní algebra

Projektivní algebra bodů, přímek a rovin s prvky v „nekonečnu“ a dualitou mezi body a rovinami apod. je považována za jazyk, který zahrnuje všechny další specializované geometrie - parabolickou (Euklidovu), hyperbolickou, eliptickou apod. dané tím, které prvky jsou zachovány při jejich pohybech (transformacích).

Tuto algebru rozvíjel již Hermann Grassmann, kde se věnoval hlavně nesymetrickému kombinačnímu externímu násobení, ale uvažoval o násobení obecně a pomocí doplňku dospěl k násobení internímu symetrickému i jejich složení do jednoho násobení, což později provedl i William Kingdon Clifford a tím se kvaterniony (čtveřice) Williama Rowana Hamiltona staly součástí tzv. geometrické algebry (3D - 3 vektory) včetně jejich rozšíření jako bikvaterniony (4D - 4 body) apod.

Grassmann a pak Peano a další však pracovali s body a ne jen s jejich rozdílem (vektory).

Geometrická algebra

Geometrická (Cliffordova) algebra používá taky podobné násobení prvků a symetrickou část násobení vektorů považuje za číslo (stopu). Tím se taky ochuzuje o velkou skupinu symetrických tenzorů.

Pokud bychom tuto algebru rozšířili o vynechanou symetrickou část násobení, mohli bychom dospět k určité verzi ucelenější geometrické algebry s podobnou schopností jako tenzorová algebra, ale s jasnějším geometrickým popisem.

O jisté nedokonalosti geometrického násobení Cliffordovy algebry je napsáno několik pojednání:

Na druhou stranu poskytuje tato algebra geometrický pohled, který nepracuje jen s číselnými souřadnicemi a tím i s jejich indexy, ale pracuje s celými prvky s geometrickým významem. Symetrická část násobení je metrická, ale metrika bývá zaváděna různě podle potřeby a ne nutně podle fyzikální reality. Pak vychází při použití algebry různé výsledky.

Tenzorová algebra

Tenzorová algebra má nejvolnější násobení prvků. Obsahuje tedy všechny ostatní, algebry ale zároveň bývá prezentována pomocí indexového zápisu, kde se ztrácí geometrický význam.

Dělitelná algebra

Pokud $B = C A$ pak $C = \frac{B}{A}$. Proto $C$ vyjadřuje pohyb (transformaci) z $A$ do $B$ a pokud je $A$ i $B$ stejného druhu, pak je $C$ poměrem (ratio, quotient) mezi nimi a chová se „jako číslo“, což je něco jiného než násobení, které mění druh.

Pokud je $A, B$ bod, pak $C$ je posun ve směru od $A$ do $B$.

Pokud je $A, B$ vektor, pak $C$ je otočení ve směru od $A$ do $B$.

Z tohoto důvodu vypadá dělení jako významnější či důležitější jako násobení.

Infinitezimální (diferenciální a integrální) algebra

Dnešní fyzika ráda popisuje přírodu pomocí tak zvaných polí (fields), což je přístup, který každému bodu v prostoru a čase přiřadí určitou vlastnost, fyzikální veličinu, například rychlost proudění, a pak sestaví částečné diferenciální rovnice (partial differential equations - PDE) popisující proměnu tohoto pole v prostoru a čase.

Viz například popis proudění tekutin.

Tento popis ale často opomíjí, v jakém prostředí fyzikální veličiny existují. Zda jsou v objemu, ploše, přímce, bodě, okamžiku, delším čase apod. To je důsledek postupného smršťování původních oblastí veličiny na bod při limitním přechodu derivace.

Diferenciální formy a algebry jako geometrická apod. se snaží to napravit tím, že rozlišují veličiny objemové, plošné apod.

Diskrétní algebra

Jako lidé vnímáme přírodu neúplně a tak její vnitřní řád (popsaný třeba diferenciálními rovnicemi) naše smysly pojmou jen částečně a místo vnímání v každém tady a teď, tedy v bodě prostoru a času, vnímáme v prostorové oblasti a úseky času. Očima například vidíme obrazy třeba 25 krát za sekundu apod. To samé platí pak pro naše měření přírody. Vždy naměříme něco přibližně zprůměrované a s určitou nepřesností (chybou). Kdybychom byli schopni zpřesňovat naše vnímání a vnímat i jemné podrobnosti v menších objemech a časových úsecích a kdybychom postupně tyto úseky zkracovali do nejmenších (infinitezimálních), tak bychom došli k onomu popisu a vjemu popsanému diferenciálními rovnicemi.

Další přístup je vyjít z naší nedokonalosti a postupně se zdokonalovat, což je vývoj k uvědomění. V takovém případě bychom spíš použili přibližný popis, který je možné zpřesňovat. K tomu nám pak může posloužit diskrétní algebra.

1)
Tensor Algebra: A Combinatorial Approach to the Projective Geometry of Figures
2)
AN INTRODUCTION TO THE DEVIATORIC TENSOR DECOMPOSITION IN THREE DIMENSIONS AND ITS MULTIPOLE REPRESENTATION
3)
https://archive.org/details/axiomsofprojecti00whituoft/page/4/mode/2up
4)
https://archive.org/details/404479/page/n9/mode/2up
5)
A. N. Whitehead’s Geometric Algebra
6)
Grassmann Vision
7)
On the Fundamentals of Geometry
8)
Vector spaces and projective geometry
9)
Classification of real projective Pathcurves
10)
viz níže jeho pojednání o geometrické algebře
11)
Articulating Space: Geometric Algebra for Parametric Design – Symmetry, Kinematics, and Curvature
12)
Three-Dimensional Projective Geometry with Geometric Algebra
13)
https://www.researchgate.net/publication/376034132_Projective_duality_encodes_complementary_orientations_in_geometric_algebras
14)
3D Oriented Projective Geometry Through Versors of R(3,3)
15)
Geometric Algebras for Euclidean Geometry
16)
On the Homogeneous Model Of Euclidean Geometry
17)
Geometry, Kinematics, and Rigid Body Mechanics in Cayley-Klein Geometries
18)
Differential Structure of the Hyperbolic Clifford Algebra
19)
The Principle of Duality in Clifford Algebra and Projective Geometry
20)
Grassmann Algebra in Game Development
21)
Fundamentals of Grassmann Algebra
22)
Notes on Differential Forms
23)
On the Exterior Calculus of Invariant Theory
24)
Whitney algebras and Grassmann’s regressive products
25)
Vector Analysis - A text-book for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of Josiah Willard Gibbs
26)
Scientific Papers
27)
přepis
28)
Thermodynamics
29)
přepis
30)
Dynamics, Vector Analysis and Multiple Algebra, Electromagnetic Theory of Light etc.
31)
Elements of Vector Analysis
projekty/veda/inspirace/matematika/start.txt · Poslední úprava: 05.12.2025 19:53 autor: Marek Ištvánek

Nástroje pro stránku