Duchovní podpora

... a poskytuji vám tuto Zemi k dozrávání ...

Uživatelské nástroje

Nástroje pro tento web

Umístění: Duchovní podpora » Projekty » Věda ve Světle Pravdy » Inspirace » Dosavadní matematika
Historie: • Dosavadní matematika

Postranní lišta

Nedávné změny:

projekty:veda:inspirace:matematika:start
Knihař
 Přidat stránku do knihy
Knihař
 Odebrat stránku z knihy  

 Zobrazit/upravit knihu (0 stránka/y)
 Nápověda

Obsah

Dosavadní matematika

Dosavadní matematika používá mnoho nářečí pro popis určitých oblastí skutečného nebo neskutečného světa.

Algebra

Algebra popisuje vztahy a operace mezi prvky určité množiny.

Prvky jsou třeba body, přímky, roviny nebo celý prostor či jejich vynechání z prostoru.

Základní prvky se mnohdy souhrnně označují jako vektory nebo tenzory, což ovšem často zakrývá jejich skutečný význam.

Operace (syntéza či sloučení) s prvky jsou:

  • Sčítání a odčítání
  • Násobení a dělení číslem
  • Násobení a dělení prvků navzájem

Násobení prvků $A$ a $B$, můžeme rozepsat na součet symetrické a nesymetrické/asymetrické části (tenzoru): $$AB = \{AB\} + [AB]$$ $$\{AB\} = \frac{1}{2}(AB+BA) = \{BA\}$$ $$[AB] = \frac{1}{2}(AB-BA) = -[BA]$$

Symetrická část pak bývá rozepisována na součet stopy $Tr$ ($n$ je počet rozměrů prostoru = počet základních prvků) a bezestopý/odchylkový zbytek $D$: $$\{AB\} = \frac{1}{n}Tr(AB) + D(AB)$$

Proč ale stopa či skalární násobení? Souvisí to s poměry mezi prvky, tedy měřením či metrikou, a tudíž s jejich dělením (kontrakcí), které se dá provést pomocí spojení prvků a jejich duálů. V dnešní matematické mluvě vektorů a kovektorů jejichž násobením vznikají tenzory.

Asymetrická část násobení souvisí s rovnými geometriemi přímek, rovin atd. - odtud lineální algebra. Symetrická část zase souvisí se zakřivenými geometriemi křivek, ploch atd. - odtud nelineární algebra.

Projektivní algebra

Projektivní algebra bodů, přímek a rovin s prvky v „nekonečnu“ a dualitou mezi body a rovinami apod. je považována za jazyk, který zahrnuje všechny další specializované geometrie - parabolickou (Euklidovu), hyperbolickou, eliptickou apod. dané tím, které prvky jsou zachovány při jejich pohybech (transformacích).

Tuto algebru rozvíjel již Hermann Grassmann, kde se věnoval hlavně nesymetrickému kombinačnímu externímu násobení, ale uvažoval o násobení obecně a pomocí doplňku dospěl k násobení internímu symetrickému i jejich složení do jednoho násobení, což později provedl i William Kingdon Clifford a tím se kvaterniony (čtveřice) Williama Rowana Hamiltona staly součástí tzv. geometrické algebry (3D - 3 vektory) včetně jejich rozšíření jako bikvaterniony (4D - 4 body) apod.

Grassmann a pak Peano a další však pracovali s body a ne jen s jejich rozdílem (vektory).

Geometrická algebra

Geometrická algebra používá taky podobné násobení prvků a symetrickou část násobení vektorů považuje za číslo (stopu). Tím se taky ochuzuje o velkou skupinu symetrických tenzorů.

Na druhou stranu poskytuje tato algebra geometrický pohled, který nepracuje jen s číselnými souřadnicemi a tím i s jejich indexy, ale pracuje s celými prvky s geometrickým významem. Symetrická část násobení je metrická, ale metrika bývá zaváděna různě podle potřeby a ne nutně podle fyzikální reality. Pak vychází při použití algebry různé výsledky.

Pokud bychom tuto algebru rozšířili o vynechanou symetrickou část násobení, mohli bychom dospět k určité verzi ucelenější geometrické algebry s podobnou schopností jako tenzorová algebra, ale s jasnějším geometrickým popisem.

Tenzorová algebra

Tenzorová algebra má nejvolnější násobení prvků. Obsahuje tedy všechny ostatní, algebry ale zároveň bývá prezentována pomocí indexového zápisu, kde se ztrácí geometrický význam.

1)
Tensor Algebra: A Combinatorial Approach to the Projective Geometry of Figures
2)
AN INTRODUCTION TO THE DEVIATORIC TENSOR DECOMPOSITION IN THREE DIMENSIONS AND ITS MULTIPOLE REPRESENTATION
3)
Die lineale ausdehnungslehre - ein neuer zweig der mathematik
4)
A New Branch of Mathematics - 1995
5)
Die Ausdehnungslehre
6)
Extension Theory - 2000
7)
https://archive.org/details/axiomsofprojecti00whituoft/page/4/mode/2up
8)
https://archive.org/details/404479/page/n9/mode/2up
9)
A. N. Whitehead’s Geometric Algebra
10)
Grassmann Vision
11)
On the Fundamentals of Geometry
12)
Vector spaces and projective geometry
13)
Classification of real projective Pathcurves
14)
Articulating Space: Geometric Algebra for Parametric Design – Symmetry, Kinematics, and Curvature
15)
Three-Dimensional Projective Geometry with Geometric Algebra
16)
https://www.researchgate.net/publication/376034132_Projective_duality_encodes_complementary_orientations_in_geometric_algebras
17)
3D Oriented Projective Geometry Through Versors of R(3,3)
18)
Geometric Algebras for Euclidean Geometry
19)
On the Homogeneous Model Of Euclidean Geometry
20)
Geometry, Kinematics, and Rigid Body Mechanics in Cayley-Klein Geometries
21)
Differential Structure of the Hyperbolic Clifford Algebra
22)
The Principle of Duality in Clifford Algebra and Projective Geometry
23)
Grassmann Algebra in Game Development
24)
Fundamentals of Grassmann Algebra
25)
Notes on Differential Forms
26)
On the Exterior Calculus of Invariant Theory
27)
Whitney algebras and Grassmann’s regressive products
28)
Vector Analysis - A text-book for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of Josiah Willard Gibbs
29)
Scientific Papers
30)
přepis
31)
Thermodynamics
32)
přepis
33)
Dynamics, Vector Analysis and Multiple Algebra, Electromagnetic Theory of Light etc.
34)
Elements of Vector Analysis
projekty/veda/inspirace/matematika/start.txt · Poslední úprava: 20.12.2024 13:50 autor: Marek Ištvánek

Nástroje pro stránku