Duchovní podpora

... a poskytuji vám tuto Zemi k dozrávání ...

Uživatelské nástroje

Nástroje pro tento web

Umístění: Duchovní podpora » Projekty » Věda ve Světle Pravdy » Inspirace » Dosavadní matematika
Historie: • Dosavadní matematika

Postranní lišta

Nedávné změny:

projekty:veda:inspirace:matematika:start
Knihař
 Přidat stránku do knihy
Knihař
 Odebrat stránku z knihy  

 Zobrazit/upravit knihu (0 stránka/y)
 Nápověda

Toto je starší verze dokumentu!

Obsah

Dosavadní matematika

Dosavadní matematika používá mnoho nářečí pro popis určitých oblastí skutečného nebo neskutečného světa.

Algebra

Algebra popisuje vztahy a operace mezi prvky určité množiny.

Prvky jsou třeba body, přímky, roviny nebo celý prostor či jejich vynechání z prostoru.

Základní prvky se mnohdy souhrnně označují jako vektory nebo tenzory, což ovšem často zakrývá jejich skutečný význam.

Operace (syntéza či sloučení) s prvky jsou:

  • Sčítání a odčítání
  • Násobení a dělení číslem
  • Násobení a dělení prvků navzájem

Násobení prvků $A$ a $B$, můžeme rozepsat na součet symetrické a nesymetrické/asymetrické části (tenzoru): $$AB = \{AB\} + [AB]$$ $$\{AB\} = \frac{1}{2}(AB+BA) = \{BA\}$$ $$[AB] = \frac{1}{2}(AB-BA) = -[BA]$$

Symetrická část pak bývá rozepisována na součet stopy $Tr$ ($n$ je počet rozměrů prostoru = počet základních prvků) a bezestopý/odchylkový zbytek $D$: $$\{AB\} = \frac{1}{n}Tr(AB) + D(AB)$$

Proč ale stopa či skalární násobení? Souvisí to s poměry mezi prvky, tedy měřením či metrikou, a tudíž s jejich dělením (kontrakcí), které se dá provést pomocí spojení prvků a jejich duálů. V dnešní matematické mluvě vektorů a kovektorů jejichž násobením vznikají tenzory.

Asymetrická část násobení souvisí s rovnými geometriemi přímek, rovin atd. - odtud lineální algebra. Symetrická část zase souvisí se zakřivenými geometriemi křivek, ploch atd. - odtud nelineární algebra.

Projektivní algebra

Projektivní algebra bodů, přímek a rovin s prvky v „nekonečnu“ a dualitou mezi body a rovinami apod. je považována za jazyk, který zahrnuje všechny další specializované geometrie - parabolickou (Euklidovu), hyperbolickou, eliptickou apod. dané tím, které prvky jsou zachovány při jejich pohybech (transformacích).

Tuto algebru rozvíjel již Hermann Grassmann, kde se věnoval hlavně nesymetrickému kombinačnímu externímu násobení, ale uvažoval o násobení obecně a pomocí doplňku dospěl k násobení internímu symetrickému i jejich složení do jednoho násobení, což později provedl i William Kingdon Clifford a tím se kvaterniony (čtveřice) Williama Rowana Hamiltona staly součástí tzv. geometrické algebry (3D - 3 vektory) včetně jejich rozšíření jako bikvaterniony (4D - 4 body) apod.

Grassmann a pak Peano a další však pracovali s body a ne jen s jejich rozdílem (vektory).

Geometrická algebra

Geometrická algebra používá taky podobné násobení prvků a symetrickou část násobení vektorů považuje za číslo (stopu). Tím se taky ochuzuje o velkou skupinu symetrických tenzorů.

Na druhou stranu poskytuje tato algebra geometrický pohled, který nepracuje jen s číselnými souřadnicemi a tím i s jejich indexy, ale pracuje s celými prvky s geometrickým významem. Symetrická část násobení je metrická, ale metrika bývá zaváděna různě podle potřeby a ne nutně podle fyzikální reality. Pak vychází při použití algebry různé výsledky.

Pokud bychom tuto algebru rozšířili o vynechanou symetrickou část násobení, mohli bychom dospět k určité verzi ucelenější geometrické algebry s podobnou schopností jako tenzorová algebra, ale s jasnějším geometrickým popisem.

Tenzorová algebra

Tenzorová algebra má nejvolnější násobení prvků. Obsahuje tedy všechny ostatní, algebry ale zároveň bývá prezentována pomocí indexového zápisu, kde se ztrácí geometrický význam.

Dělitelná algebra

Pokud $B = C A$ pak $C = \frac{B}{A}$. Proto $C$ vyjadřuje pohyb (transformaci) z $A$ do $B$ a pokud je $A$ i $B$ stejného druhu, pak je $C$ poměrem (ratio, quotient) mezi nimi a chová se „jako číslo“, což je něco jiného než násobení, které mění druh.

Pokud je $A, B$ bod, pak $C$ je posun ve směru od $A$ do $B$.

Pokud je $A, B$ vektor, pak $C$ je otočení ve směru od $A$ do $B$.

Z tohoto důvodu vypadá dělení jako významnější či důležitější jako násobení.

1)
Tensor Algebra: A Combinatorial Approach to the Projective Geometry of Figures
2)
AN INTRODUCTION TO THE DEVIATORIC TENSOR DECOMPOSITION IN THREE DIMENSIONS AND ITS MULTIPOLE REPRESENTATION
3)
Die Mechanik nach den Principien der Ausdehnungslehre
4)
Mechanics, according to the principles of the theory of extensions
5)
https://archive.org/details/axiomsofprojecti00whituoft/page/4/mode/2up
6)
https://archive.org/details/404479/page/n9/mode/2up
7)
A. N. Whitehead’s Geometric Algebra
8)
Grassmann Vision
9)
On the Fundamentals of Geometry
10)
Vector spaces and projective geometry
11)
Classification of real projective Pathcurves
12)
Articulating Space: Geometric Algebra for Parametric Design – Symmetry, Kinematics, and Curvature
13)
Three-Dimensional Projective Geometry with Geometric Algebra
14)
https://www.researchgate.net/publication/376034132_Projective_duality_encodes_complementary_orientations_in_geometric_algebras
15)
3D Oriented Projective Geometry Through Versors of R(3,3)
16)
Geometric Algebras for Euclidean Geometry
17)
On the Homogeneous Model Of Euclidean Geometry
18)
Geometry, Kinematics, and Rigid Body Mechanics in Cayley-Klein Geometries
19)
Differential Structure of the Hyperbolic Clifford Algebra
20)
The Principle of Duality in Clifford Algebra and Projective Geometry
21)
Grassmann Algebra in Game Development
22)
Fundamentals of Grassmann Algebra
23)
Notes on Differential Forms
24)
On the Exterior Calculus of Invariant Theory
25)
Whitney algebras and Grassmann’s regressive products
26)
Vector Analysis - A text-book for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of Josiah Willard Gibbs
27)
Scientific Papers
28)
přepis
29)
Thermodynamics
30)
přepis
31)
Dynamics, Vector Analysis and Multiple Algebra, Electromagnetic Theory of Light etc.
32)
Elements of Vector Analysis
projekty/veda/inspirace/matematika/start.1757848954.txt.gz · Poslední úprava: 14.09.2025 13:22 autor: Marek Ištvánek

Nástroje pro stránku