Rozdíly

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

--- projekty:veda:inspirace:matematika:start [13.03.2023 18:06]
Marek Ištvánek
+++ projekty:veda:inspirace:matematika:start [01.03.2024 10:02] (aktuální)
Marek Ištvánek
@@ Řádek 3: / Řádek 3: @@
 Dosavadní matematika používá mnoho nářečí pro popis určitých oblastí skutečného nebo neskutečného světa.
-=== Geometrická algebra ===
+===== Algebra =====
+Algebra popisuje vztahy a operace mezi prvky určité množiny.
+Prvky jsou třeba body, přímky, roviny nebo celý prostor či jejich vynechání z prostoru.
+Základní prvky se mnohdy souhrnně označují jako vektory nebo tenzory, což ovšem často zakrývá jejich skutečný význam.
+Operace s prvky jsou pak:
+  * Sčítání a odčítání
+  * Násobení a dělení číslem
+  * Násobení a dělení prvků navzájem
+Násobení prvků $A$ a $B$, můžeme rozepsat na součet symetrické a nesymetrické/asymetrické části (tenzoru):
+$$AB = \{AB\} + [AB]$$
+$$\{AB\} = \frac{1}{2}(AB+BA) = \{BA\}$$
+$$[AB] = \frac{1}{2}(AB-BA) = -[BA]$$
+Symetrická část pak bývá rozepisována na součet //stopy $Tr$// ($n$ je počet rozměrů prostoru) a //bezestopý/odchylkový $D$// zbytek:
+$$\{AB\} = \frac{1}{n}Tr(AB) + D(AB)$$
+Proč ale stopa či skalární násobení? Souvisí to s poměry mezi prvky, tedy měřením či metrikou, a tudíž s jejich dělením (kontrakcí), které se dá provést pomocí spojení prvků a jejich duálů. V dnešní matematické mluvě vektorů a kovektorů jejichž násobením vznikají tenzory.
+Asymetrická část násobení souvisí s rovnými geometriemi přímek, rovin atd. - odtud lineální algebra. Symetrická část zase souvisí se zakřivenými geometriemi křivek, ploch atd. - odtud nelineární algebra.
+  * [[https://www.researchgate.net/publication/221016898_Tensor_Algebra_A_Combinatorial_Approach_to_the_Projective_Geometry_of_Figures|Tenzorová algebra: Kombinační přístup k projektivní geometrii obrazců - 2004]] ({{ :projekty:veda:inspirace:matematika:tensor_algebra_a_combinatorial_approach_to_the_projective_geometry_of_figures_-_2004.pdf |kopie}}) (anglicky((Tensor Algebra: A Combinatorial Approach to the Projective Geometry of Figures)))
+  * Hergl, Nagel
+    * [[https://arxiv.org/pdf/2009.11723.pdf|Úvod do rozepsání odchylkového tenzoru ve třech rozměrech a jeho vícepólová forma - 2020]] (anglicky((AN INTRODUCTION TO THE DEVIATORIC TENSOR DECOMPOSITION IN THREE DIMENSIONS AND ITS MULTIPOLE REPRESENTATION)))
+==== Geometrická algebra ====
+Geometrická algebra používá taky podobné násobení prvků a symetrickou část násobení vektorů považuje za číslo (//stopu//). Tím se taky ochuzuje o velkou skupinu symetrických tenzorů.
+Na druhou stranu poskytuje tato algebra geometrický pohled, který nepracuje jen s číselnými souřadnicemi a tím i s jejich indexy, ale pracuje s celými prvky s geometrickým významem. Symetrická část násobení je metrická, ale metrika bývá zaváděna různě podle potřeby a ne nutně podle fyzikální reality. Pak vychází při použití algebry různé výsledky.
+**Pokud bychom tuto algebru rozšířili o vynechanou symetrickou část násobení, mohli bychom dospět k určité verzi ucelenější geometrické algebry s podobnou schopností jako tenzorová algebra, ale s jasnějším geometrickým popisem.**
+Tuto algebru rozvíjel již Hermann Grassmann, kde se věnoval hlavně nesymetrickému kombinačnímu externímu násobení, ale uvažoval o násobení obecně a pomocí doplňku dospěl k násobení internímu symetrickému i jejich složení do jednoho násobení, což později provedl i William Kingdon Clifford a tím se kvaterniony (čtveřice) Williama Rowana Hamiltona staly součástí této algebry (3D - 3 vektory) včetně jejich rozšíření jako bikvaterniony (4D - 4 body) apod.
   * [[https://harvard.academia.edu/PabloColapinto|Pablo Colapinto]]
@@ Řádek 32: / Řádek 70: @@
     * [[http://www.mathart.nl/vector901.pdf|Vektorové prostory a projektivní geometrie]] (anglicky((Vector spaces and projective geometry)))
     * [[http://www.mathart.nl/Pathcurves1010.pdf|Členění reálných projektivních křivek]] (anglicky((Classification of real projective Pathcurves)))
+  * Ivan Avramidi
+    * {{ :projekty:veda:inspirace:matematika:notes_on_differential_forms_-_2003.pdf |Poznámky o diferenciálních formách - 2003}} (anglicky((Notes on Differential Forms)))
   * Barnabei, Brini, Rota
     * [[http://kalx.net/dsS2011/BarBriRot1985.pdf|O vnějším počtu invariantní teorie]] (anglicky((On the Exterior Calculus of Invariant Theory)))
@@ Řádek 40: / Řádek 80: @@
     * [[https://archive.org/details/dieausdehnungsl05grasgoog/page/n3/mode/2up|Nauka o rozprostření - 1862]] (německy((Die Ausdehnungslehre)), anglický překlad(([[https://books.google.cz/books?id=JcAjDwAAQBAJ&printsec=frontcover&hl=cs#v=onepage&q&f=false|Extension Theory - 2000]])))
-=== Vektorová a tenzorová algebra ===
+==== Tenzorová algebra ====
   * [[https://en.wikipedia.org/wiki/Edwin_Bidwell_Wilson|Edwin Bidwell Wilson]]

Duchovní podpora

Uživatelské nástroje

Nástroje pro tento web

Rozdíly

Nástroje pro stránku