====== Dosavadní matematika ======

Dosavadní matematika používá mnoho nářečí pro popis určitých oblastí skutečného nebo neskutečného světa.

===== Algebra =====

Algebra popisuje vztahy a operace mezi prvky určité množiny.

Prvky jsou třeba body, přímky, roviny nebo celý prostor či jejich vynechání z prostoru.

Základní prvky se mnohdy souhrnně označují jako vektory nebo tenzory, což ovšem často zakrývá jejich skutečný význam.

Operace s prvky jsou pak:

  * Sčítání a odčítání
  * Násobení a dělení číslem
  * Násobení a dělení prvků navzájem

Násobení prvků $A$ a $B$, můžeme rozepsat na součet symetrické a nesymetrické/asymetrické části (tenzoru):
$$AB = \{AB\} + [AB]$$
$$\{AB\} = \frac{1}{2}(AB+BA) = \{BA\}$$
$$[AB] = \frac{1}{2}(AB-BA) = -[BA]$$

Symetrická část pak bývá rozepisována na součet //stopy $Tr$// ($n$ je počet rozměrů prostoru) a //bezestopý/odchylkový $D$// zbytek:
$$\{AB\} = \frac{1}{n}Tr(AB) + D(AB)$$

Proč ale stopa či skalární násobení? Souvisí to s poměry mezi prvky, tedy měřením či metrikou, a tudíž s jejich dělením (kontrakcí), které se dá provést pomocí spojení prvků a jejich duálů. V dnešní matematické mluvě vektorů a kovektorů jejichž násobením vznikají tenzory.

Asymetrická část násobení souvisí s rovnými geometriemi přímek, rovin atd. - odtud lineální algebra. Symetrická část zase souvisí se zakřivenými geometriemi křivek, ploch atd. - odtud nelineární algebra.

  * [[https://www.researchgate.net/publication/221016898_Tensor_Algebra_A_Combinatorial_Approach_to_the_Projective_Geometry_of_Figures|Tenzorová algebra: Kombinační přístup k projektivní geometrii obrazců - 2004]] ({{ :projekty:veda:inspirace:matematika:tensor_algebra_a_combinatorial_approach_to_the_projective_geometry_of_figures_-_2004.pdf |kopie}}) (anglicky((Tensor Algebra: A Combinatorial Approach to the Projective Geometry of Figures)))
  * Hergl, Nagel
    * [[https://arxiv.org/pdf/2009.11723.pdf|Úvod do rozepsání odchylkového tenzoru ve třech rozměrech a jeho vícepólová forma - 2020]] (anglicky((AN INTRODUCTION TO THE DEVIATORIC TENSOR DECOMPOSITION IN THREE DIMENSIONS AND ITS MULTIPOLE REPRESENTATION)))

==== Geometrická algebra ====

Geometrická algebra používá taky podobné násobení prvků a symetrickou část násobení vektorů považuje za číslo (//stopu//). Tím se taky ochuzuje o velkou skupinu symetrických tenzorů.

Na druhou stranu poskytuje tato algebra geometrický pohled, který nepracuje jen s číselnými souřadnicemi a tím i s jejich indexy, ale pracuje s celými prvky s geometrickým významem. Symetrická část násobení je metrická, ale metrika bývá zaváděna různě podle potřeby a ne nutně podle fyzikální reality. Pak vychází při použití algebry různé výsledky.

**Pokud bychom tuto algebru rozšířili o vynechanou symetrickou část násobení, mohli bychom dospět k určité verzi ucelenější geometrické algebry s podobnou schopností jako tenzorová algebra, ale s jasnějším geometrickým popisem.**

Tuto algebru rozvíjel již Hermann Grassmann, kde se věnoval hlavně nesymetrickému kombinačnímu externímu násobení, ale uvažoval o násobení obecně a pomocí doplňku dospěl k násobení internímu symetrickému i jejich složení do jednoho násobení, což později provedl i William Kingdon Clifford a tím se kvaterniony (čtveřice) Williama Rowana Hamiltona staly součástí této algebry (3D - 3 vektory) včetně jejich rozšíření jako bikvaterniony (4D - 4 body) apod.

  * [[https://harvard.academia.edu/PabloColapinto|Pablo Colapinto]]
    * [[http://versor.mat.ucsb.edu/ArticulatingSpace.pdf|Vyjádření prostoru: Geometrická algebra pro parametrický návrh – Symetrie, kinematika a zakřivení - 2016]] (anglicky((Articulating Space: Geometric Algebra for Parametric Design – Symmetry, Kinematics, and Curvature)))
  * Hongbo Li
    * [[https://arxiv.org/pdf/1507.06634|Trojrozměrná projektivní geometrie pomocí geometrické algebry - 2015]] (anglicky((Three-Dimensional Projective Geometry with Geometric Algebra)))
   * [[https://www.researchgate.net/profile/Leo_Dorst|Leo Dorst]]
    * [[https://www.researchgate.net/profile/Leo_Dorst/publication/286402757_3D_Oriented_Projective_Geometry_Through_Versors_of_mathbbR33_R_3_3/links/5716865208ae377f0bd61703/3D-Oriented-Projective-Geometry-Through-Versors-of-mathbbR3-3-R-3-3.pdf|3D orientovaná projektivní geometrie pomocí verzorů R(3,3) - 2015]] (anglicky((3D Oriented Projective Geometry Through
Versors of R(3,3) )))
  * [[http://page.math.tu-berlin.de/~gunn/|Charles Gunn]]
    * [[http://arxiv.org/pdf/1411.6502|Geometrické algebry pro Euclidovské geometrie]] (anglicky((Geometric Algebras for Euclidean Geometry)))
    * [[http://arxiv.org/pdf/1101.4542|O homogenním modelu Euclidovské geometrie]] (anglicky((On the Homogeneous Model Of Euclidean Geometry)))
    * [[http://page.math.tu-berlin.de/~gunn/Documents/Papers/Thesis-final.pdf|Geometrie, kinematika a mechanika pevného tělesa v Cayley-Klein geometriích]] (anglicky((Geometry, Kinematics, and Rigid Body Mechanics in Cayley-Klein Geometries)))
  * [[https://web.archive.org/web/20050405081911/http://homepage.ntlworld.com/stebla/index.html|Stephen Blake]]
    * {{projekty:veda:matematika:stephen_blake_-_a._n._whitehead_s_geometric_algebra_-_2005.pdf|Geometrická algebra A. N. Whiteheada - 2005}} (anglicky(([[https://web.archive.org/web/20050305091303/http://homepage.ntlworld.com/stebla/Whitehead.html|A. N. Whitehead’s Geometric Algebra]])))
  * [[https://www.researchgate.net/profile/E_Notte-Cuello|Eduardo A. Notte-Cuello]], [[https://www.researchgate.net/profile/Waldyr_Rodrigues|Waldyr A. Rodrigues]]
    * [[http://arxiv.org/pdf/1403.3150.pdf|Diferenciální struktura hyperbolické Cliffordovy algebry]] (anglicky((Differential Structure of the Hyperbolic Clifford Algebra)))
  * [[http://www.mas.goetheanum.org/Conradt-Oliver.oconradt.0.html?&L=1|Oliver Conradt]]
    * [[http://www.mas.goetheanum.org/fileadmin/mas/downloads/Mitarbeitende/ConradtOliver/TartuConradtHandout.pdf|Projektivní algebra Λ<sub>n</sub>]] (anglicky((Projective Algebra Λ<sub>n</sub>)))
    * {{projekty:veda:matematika:oliver_conradt_-_the_principle_of_duality_in_clifford_algebra_and_projective_geometry_-_1999.pdf|Princip duality v Cliffordově algebře a projektivní geometrii}} (anglicky((The Principle of Duality in Clifford Algebra and Projective Geometry)))
  * [[http://www.terathon.com/lengyel/|Eric Lengyel]]
    * [[http://www.terathon.com/gdc14_lengyel.pdf|Grassmannova algebra ve vývoji her]] (anglicky((Grassmann Algebra in Game Development)))
    * [[http://www.terathon.com/gdc12_lengyel.pdf|Základy Grassmannovy algebry]] (anglicky((Fundamentals of Grassmann Algebra)))
  * [[http://geocalc.clas.asu.edu|David Hestenes]]
    * [[http://geocalc.clas.asu.edu/pdf/GrassmannsVision.pdf|Grassmannova vize - 1996]] (anglicky((Grassmann Vision)))
  * [[http://www.mathart.nl/fog.html|Lodewijk A. D. de Boer]]
    * [[http://www.mathart.nl/FoG1009.pdf|O základech geometrie]] (anglicky((On the Fundamentals of Geometry)))
    * [[http://www.mathart.nl/vector901.pdf|Vektorové prostory a projektivní geometrie]] (anglicky((Vector spaces and projective geometry)))
    * [[http://www.mathart.nl/Pathcurves1010.pdf|Členění reálných projektivních křivek]] (anglicky((Classification of real projective Pathcurves)))
  * Ivan Avramidi
    * {{ :projekty:veda:inspirace:matematika:notes_on_differential_forms_-_2003.pdf |Poznámky o diferenciálních formách - 2003}} (anglicky((Notes on Differential Forms)))
  * Barnabei, Brini, Rota
    * [[http://kalx.net/dsS2011/BarBriRot1985.pdf|O vnějším počtu invariantní teorie]] (anglicky((On the Exterior Calculus of Invariant Theory)))
  * Brini, Regonati
    * [[http://arxiv.org/pdf/1010.2964v1|Whitneyho algebry a Grassmannovy regresivní součiny]] (anglicky((Whitney algebras and Grassmann’s regressive products)))
  * [[https://cs.wikipedia.org/wiki/Hermann_Grassmann|Hermann Grassmann]]
    * [[https://archive.org/details/dieausdehnungsl04grasgoog/page/n5/mode/2up|Lineární (přímková) nauka o rozprostření - 1844/1878]] (německy((Die lineale ausdehnungslehre - ein neuer zweig der mathematik)), anglický překlad(([[https://books.google.cz/books/about/A_New_Branch_of_Mathematics.html?id=Ol27QgAACAAJ&source=kp_cover&redir_esc=y|A New Branch of Mathematics - 1995]])))
    * [[https://archive.org/details/dieausdehnungsl05grasgoog/page/n3/mode/2up|Nauka o rozprostření - 1862]] (německy((Die Ausdehnungslehre)), anglický překlad(([[https://books.google.cz/books?id=JcAjDwAAQBAJ&printsec=frontcover&hl=cs#v=onepage&q&f=false|Extension Theory - 2000]])))

==== Tenzorová algebra ====

  * [[https://en.wikipedia.org/wiki/Edwin_Bidwell_Wilson|Edwin Bidwell Wilson]]
    * [[https://archive.org/details/0479777.0001.001.umich.edu/page/IV/mode/2up|Vektorová analýza - Učebnice pro studenty matematiky a fyziky, založená na přednáškách Josiaha Willarda Gibbse - 1913]] (anglicky(({{ projekty:veda:matematika:edwin_bidwell_wilson_-_vector_analysis_-_a_text-book_for_the_use_of_students_of_mathematics_and_physics_founded_upon_the_lectures_of_josiah_willard_gibbs_-_1913.pdf |Vector Analysis - A text-book for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of Josiah Willard Gibbs}})))
  * [[https://en.wikipedia.org/wiki/Josiah_Willard_Gibbs|Josiah Willard Gibbs]]
    * Vědecké spisy - 1906 (anglicky((Scientific Papers)))
      * [[https://archive.org/details/scientificpaper00gibbgoog/page/n9/mode/2up|I - Termodynamika]] (([[https://en.wikisource.org/wiki/Scientific_Papers_of_Josiah_Willard_Gibbs,_Volume_1|přepis]])) (({{ projekty:veda:matematika:j._willard_gibbs_-_scientific_papers_-_i_-_thermodynamics_-_1906.pdf |Thermodynamics}}))
      * [[https://archive.org/details/scientificpaper01gibbgoog/page/n7/mode/2up|II - Dynamika, Vektorová analýza a Vícenásobná algebra, Elektromagnetická teorie světla atd.]] (([[https://en.wikisource.org/wiki/Scientific_Papers_of_Josiah_Willard_Gibbs,_Volume_2|přepis]])) (({{ projekty:veda:matematika:j._willard_gibbs_-_scientific_papers_-_ii_-_dynamics_vector_analysis_and_multiple_algebra_electromagnetic_theory_of_light_etc_-_1906.pdf |Dynamics, Vector Analysis and Multiple Algebra, Electromagnetic Theory of Light etc.}}))
    * [[https://www.academia.edu/9603450/Vector_Analysis_3_|Prvky vektorové analýzy - 1884]] (anglicky(({{ projekty:veda:matematika:j._willard_gibbs_-_elements_of_vector_analysis_-_1884.pdf |Elements of Vector Analysis}})))